En física y en matemáticas, el valor absoluto de un número real (x) es la distancia que x tiene respecto al cero en la recta numérica. Como las distancias no son negativas, el valor absoluto tampoco lo es. Por ejemplo: |8| = 8 (el valor absoluto de 8 es 8) y |-8| = 8 (el valor absoluto de -8 es 8). Esto representa que tanto el 8 como el -8 tienen 8 unidades de distancia respecto al cero.
En matemáticas, existe una definición de valor absoluto que se expresa:
|x| = {x, si x ≥ 0
{-x, si x < 0
Esta definición se explica de la siguiente manera:
- x, si x ≥ 0. El valor absoluto es positivo si el número es positivo (x > 0). Por ejemplo: |8| = 8, porque 8 > 0 (8 es mayor que 0). Si el número es 0 (x = 0), el valor absoluto será cero: |0| = 0, porque 0 = 0.
- -x, si x < 0. El valor absoluto es positivo si el número es negativo (x < 0). Por ejemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 es menor que 0), entonces el resultado del valor absoluto es -x = -(-8) = 8.
Respecto a la notación del valor absoluto, el número siempre se escribe entre barras verticales:
- |8| = 8. Esto significa que el valor absoluto de 8 es igual a 8.
- |-8| = 8. Esto significa que el valor absoluto de -8 es igual a 8.
Además, el valor absoluto se puede aplicar en distintos cálculos:
- Cálculo en el que la operación se encuentra entre las barras. Si todos los números se encuentran dentro de las barras, primero se resuelve la operación y después se le asigna el valor absoluto al resultado. Por ejemplo:
|-10 -7| = |-17| =17 - Cálculo en el que solo hay un número entre las barras. En este caso, primero se determina el valor absoluto del número que se encuentra entre las barras y después se resuelve la operación. Por ejemplo:
|-2| – 5 = 2 – 5 = -3
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Propiedades del valor absoluto
El valor absoluto tiene distintas propiedades, las más importantes son:
- No negatividad. El valor absoluto siempre es positivo o igual a cero (|x| ≥ 0). Por ejemplo: |8| = 8 y |-8| = 8.
- Definición positiva. El valor absoluto de un número es 0 solo si este número es igual a 0 (|x| = 0 ⇔ x = 0). Por ejemplo: |0| = 0.
- Propiedad multiplicativa. El valor absoluto del resultado de una multiplicación es igual al resultado de la multiplicación de los valores absolutos de los números que la componen (|x * y| = |x| * |y|). Por ejemplo: |-4 * 5| = |-20| = 20 es igual a |-4| * |5| = 4 * 5 = 20.
- Desigualdad triangular. El valor absoluto del resultado de una suma es menor o igual al resultado de la suma de los valores absolutos de los números que la componen (|x + y| ≤ |x| + |y|). Por ejemplo: |-7 + 6| = |-1| = 1 y |-7| + |6| = 7 + 6 = 13, entonces 1 < 13 (1 es menor que 13).
- Simetría. Un número positivo (por ejemplo, 15) y el mismo número, pero negativo (por ejemplo -15) tienen el mismo valor absoluto: 15 (|-x| = |x|).
- Identidad de indiscernibles. El valor absoluto del resultado de una resta es igual a cero si esos sus números son el mismo (|x – y| = 0 ⇔ x = y). Por ejemplo: |8 – 8| = |0| = 0, porque 8 = 8.
- Preservación de la división. El valor absoluto del resultado de una división es igual al resultado de la división de los valores absolutos de los números que la componen solo si el divisor no es igual a cero (|x / y| = |x| / |y| si y ≠ 0). Por ejemplo: |4 / 2| = |2| = 2 es igual a |4| / |2| = 4 / 2 = 2, porque 2 ≠ 0.
Ejemplos de valor absoluto
- |-107| = 107 (el valor absoluto de -107 es 107)
- |2,34353| = 2,34353 (el valor absoluto de 2,34353 es 2,34353)
- |⅛| = ⅛ (el valor absoluto de ⅛ es ⅛)
- |43| = 43 (el valor absoluto de 43 es 43)
- |-¼| = ¼ (el valor absoluto de -¼ es ¼)
- |-5| = 5 (el valor absoluto de -5 es 5)
- |-32,789| = 32,789 (el valor absoluto de -32,789 es 32,789)
- |78| = 78 (el valor absoluto de 78 es 78)
- |-1½| = 1½ (el valor absoluto de -1½ es 1½)
- |-984,32| = 984,32 (el valor absoluto de -984,32 es 984,32)
- |24| = 24 (el valor absoluto de 24 es 24)
- |-476| = 476 (el valor absoluto de -476 es 476)
- |139,2| = 139,2 (el valor absoluto de 139,2 es 139,2)
- |12⅙| = 12⅙ (el valor absoluto de 12⅙ es 12⅙)
- |-32⅔| = 32⅔ (el valor absoluto de -32⅔ es 32⅔)
- |7,333| = 7,333 (el valor absoluto de 7,333 es 7,333)
- |-2,13| = 2,13 (el valor absoluto de -2,13 es 2,13)
- |-19| = 19 (el valor absoluto de -19 es 19)
- |-6,5| = 6,5 (el valor absoluto de -6,5 es 6,5)
- |-⅝| = ⅝ (el valor absoluto de -⅝ es ⅝)
Ejemplos de valor absoluto en operaciones
- |45 + 17| – 12 = |62| – 12 = 62 – 12 = 50
- |119 – 200| = |-81| = 81
- 200 * |-2| = 200 * 2 = 400
- |49 / -7| = |-7| = 7
- 356 + |-100| = 356 + 100 = 456
- |3 – 3| = |0| = 0
- |200| – 50 = 200 – 50 = 150
- |-3| * 80 = 3 * 80 = 240
- |-350| / 10 = 350 / 10 = 35
- |-2 * 15| + 7 = |-30| + 7 = 30 + 7 = 37
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